正多面体の公式(体積・表面積)

正四面体

\[ V = \frac{ \sqrt{2} }{12}a^3 \] \[ S = \sqrt{3} a^2 \]

正六面体

\[ V = a^3 \] \[ S = 6a^2 \]

正八面体

\[ V = \frac{ \sqrt{2} }{3}a^3 \] \[ S = 2 \sqrt{3} a^2 \]

正十二面体

\[ V = \frac{ 15 + 7 \sqrt{5} }{4}a^3 \] \[ S = 3 \sqrt{ 25 + 10 \sqrt{5} } a^2 \]

正二十面体

\[ V = \frac{ 5(3 + \sqrt{5}) }{12}a^3 \] \[ S = 5 \sqrt{ 3 } a^2 \]

内接球の半径

\[ r_1 = \frac{ 3 V }{S} \]

外接球の半径

正四面体:m=3, 正六面体:m=4, 正八面体:m=3, 正十二面体:m=5, 正二十面体:m=3

\[ r_2 = \sqrt{ r_1^2 + ( \frac{a}{2 \sin \frac{\pi}{m} })^2 } \]